La topología es el estudio matemático de la "forma". El término popular es "geometría de láminas de goma"; Es el estudio de las propiedades de un objeto que no cambian bajo deformaciones continuas (como estirarse y doblarse (pero no romperse)). El problema más básico en topología es determinar cuándo dos espacios topológicos son iguales, es decir, pueden identificarse entre sí de manera continua. La Conjetura de Poincare es esencialmente la primera conjetura jamás hecha en topología; afirma que una variedad tridimensional es igual a la esfera tridimensional precisamente cuando se satisface cierta condición algebraica. La conjetura fue formulada por Poincaré a principios del siglo XX. Una solución, positiva o negativa, tiene un valor de US $ 1,000,000, ya que es uno de los problemas del Premio del Milenio que mantiene el Clay Mathematics Institute.
La historia de la topología se remonta al menos a mediados del siglo XVIII. Uno de sus primeros aumentos importantes se produjo a fines del siglo XIX, cuando Poincaré intentaba comprender el conjunto de soluciones para una ecuación algebraica general f (x, y, z) = 0 , donde x, y, z son números complejos . Para comprender el conjunto de soluciones, al principio intentó un enfoque analítico, pero terminó adoptando el enfoque de asignar invariantes algebraicos (= numéricos) a objetos geométricos (sucesivamente más generales), como una forma de (¡haber olvidado su motivación original! ) clasificando estos objetos geométricos. Este enfoque puede considerarse el comienzo de lo que ahora llamamos topología algebraica .
Poincaré estaba realmente entusiasmado con estas cosas, pensó que había encontrado la cura para el resfriado común o algo así; pensó que estas cosas harían un gran trabajo al distinguir espacios. Muy pronto, en este sentido, hizo una conjetura (a nuestro entender moderno, bastante audaz), de que la esfera tridimensional podría ser detectada por homología.
De hecho, fue tan lejos como para afirmar que tenía una prueba , aunque el margen era demasiado pequeño para contenerla (no, espera, ese es un teorema diferente ...). Este habría sido un gran teorema; Desafortunadamente, es falso. Poincaré mismo encontró el primer contraejemplo, un espacio que ahora se conoce como la esfera de homología de Poincaré. En el proceso, básicamente inventó el grupo fundamental de un espacio.
Porque eso era lo que se había perdido; la esfera 3 no solo tiene grupos de homología triviales (primero y segundo), sino que también tiene un grupo fundamental trivial. Eso significa que cualquier mapa de un círculo en S 3 se puede extender a un mapa de 2 discos en S 3. Y usted puede (con algo de trabajo) construir un grupo múltiple con los mismos grupos de homología que S ^ 3 , pero con un grupo fundamental no trivial (finito), lo que hizo Poincaré. Sin embargo, es un hecho sorprendente que la esfera de homología de Poincaré es el único ejemplo conocido (¡y se conjetura que es el único!). Si está dispuesto a tener una variedad con la homología del grupo fundamental de 3 esferas pero infinito , construir dicho espacio es bastante sencillo, utilizando la cirugía de Dehn en nudos; Se llaman homología entera de 3 esferas.