La geometría euclidiana es el estudio del espacio plano. Entre cada par de puntos hay un segmento de línea único que es la curva más corta entre esos dos puntos. Estos segmentos de línea se pueden extender a líneas. Las líneas son infinitamente largas en ambas direcciones y para cada par de puntos en la línea, el segmento de la línea entre ellas es la curva más corta que se puede dibujar entre ellas. Además, si tiene una línea y un punto que no está en la línea, hay una segunda línea que atraviesa el punto, que es paralela a la primera línea (nunca la golpea). Todas estas ideas se pueden describir dibujando en una hoja de papel plana. De las leyes de la geometría euclidiana, obtenemos los famosos teoremas como el Teorema de Pitágoras y todas las fórmulas que aprendes en trigonometría, como la ley de los cosenos.
Ahora, suponga que en lugar de tener un trozo de papel plano, tiene un trozo de papel curvo. Es posible que tenga un cilindro o una esfera. Puedes usar un rollo de papel de cartón para estudiar un cilindro y un globo para estudiar una esfera. Una curva más corta entre cualquier par de puntos en una superficie tan curva se llama geodésica mínima. Puede encontrar una geodésica mínima entre dos puntos estirando una banda elástica entre ellos. Lo primero que notará es que a veces hay más de una geodésica mínima entre dos puntos. Hay muchas geodésicas mínimas entre los polos norte y sur de un globo. También podemos buscar líneas, que son curvas como las del espacio euclidiano, de modo que entre cada par de puntos en la línea, el segmento entre ellos es una geodésica mínima. ¡No hay líneas en una esfera! Cada vez que intentas extender una geodésica mínima, comienza a ajustarse y ya no es una geodésica mínima.
En un cilindro, algunas geodésicas mínimas se pueden extender a líneas, pero la mayoría de ellas comienzan a envolverse alrededor del cilindro y no se pueden extender. Las superficies como estas son más difíciles de estudiar que las superficies planas, pero aún existen teoremas que se pueden usar para estimar la longitud de la hipotenusa de un triángulo, la circunferencia de un círculo y el área dentro del círculo. Estas estimaciones dependen de la cantidad de superficie curvada o doblada.
Uno de los temas básicos en la geometría de Riemann es el estudio de superficies curvas. Las superficies como estas son más difíciles de estudiar que las superficies planas, pero aún existen teoremas que se pueden usar para estimar la longitud de la hipotenusa de un triángulo, la circunferencia de un círculo y el área dentro del círculo. Estas estimaciones dependen de la cantidad de superficie curvada o doblada. Uno de los temas básicos en la geometría de Riemann es el estudio de superficies curvas. Las superficies como estas son más difíciles de estudiar que las superficies planas, pero aún existen teoremas que se pueden usar para estimar la longitud de la hipotenusa de un triángulo, la circunferencia de un círculo y el área dentro del círculo. Estas estimaciones dependen de la cantidad de superficie curvada o doblada. Uno de los temas básicos en la geometría de Riemann es el estudio de superficies curvas.
Una herramienta importante utilizada para medir cuánto se curva una superficie se llama curvatura seccional o curvatura de Gauss. Se puede calcular con precisión si conoce el cálculo vectorial y está relacionado con las segundas derivadas parciales de la función utilizada para describir una superficie. Para estudiar la curvatura seccional de una superficie en un punto dado, primero encuentra el plano tangente a la superficie en ese punto. Si puede encontrar una pequeña parte de la superficie alrededor del punto dado que solo toca el plano tangente en ese punto, entonces la superficie tiene una curvatura de sección positiva o cero allí. Por ejemplo, un paraboloide o una esfera tiene una curvatura seccional positiva en cada punto. Si no es posible encontrar una pequeña parte de la superficie que encaje en un lado del plano tangente, entonces la superficie tiene una curvatura negativa o cero en el punto dado. Esto sucede alrededor del cuello de un hiperboloide de una lámina y en puntos donde la superficie parece una silla de montar. Si utiliza la fórmula precisa para calcular la curvatura en sección de un punto en un plano o un cilindro, descubrirá que estas superficies tienen exactamente cero curvatura en todas partes.