En 1931, el matemático checo Kurt Gödel demostró que dentro de cualquier rama de las matemáticas, siempre habría algunas proposiciones que no se podrían probar como verdaderas o falsas usando las reglas y axiomas de la propia rama matemática. Podrías ser capaz de probar cada afirmación concebible sobre números dentro de un sistema, saliendo fuera del mismo con el fin de obtener nuevos axiomas o reglas, pero haciendo eso, solo creearías un sistema más grande con sus propias afirmaciones no probadas. La implicación es que todo sistema lógico de cualquier complejidad es, por definición, incompleto; cada uno de ellos contiene, en cualquier momento, más afirmaciones ciertas de las que pueden ser probadas de acuerdo con su propia definición del conjunto de reglas.
El Teorema de Gödel ha sido usado para argumentar que una computadora nunca podrá ser más inteligente que un humano, ya que la extensión de su conocimiento está limitada por un conjunto fijo de axiomas, mientras que las personas pueden descubrir verdades inesperadas. Juega un papel en las teorías linguísticas modernas, las cuales enfatizan el poder del idiona para encontrar nuevas formas de expresar ideas. Y esto se ha tomado para implicar que nunca te comprenderás completamente a ti mismo, ya que tu mente, como cualquier otro sistema cerrado, solo puede estar segura de lo que sabe sobre si misma basándose en lo que sabe de si misma.
Los dos teoremas de incompletitud de Gödel se encuentran entre los resultados más importantes en la lógica moderna y tienen profundas implicaciones para varios problemas. Se refieren a los límites de demostrabilidad en las teorías axiomáticas formales. El primer teorema de incompletitud establece que en cualquier sistema formal consistente F dentro del cual se pueda llevar a cabo una cierta cantidad de aritmética, hay enunciados del lenguaje de F que no se pueden probar ni refutar en F. De acuerdo con el segundo teorema de incompletitud, un sistema formal de este tipo no puede probar que el sistema en sí es consistente (suponiendo que sí lo sea). Estos resultados han tenido un gran impacto en la filosofía de las matemáticas y la lógica. Ha habido intentos de aplicar los resultados también en otras áreas de la filosofía, como la filosofía de la mente, pero estos intentos de aplicación son más controvertidos. La presente entrada examina los dos teoremas de incompletitud y varios problemas que los rodean. (Ver también la entrada sobre Kurt Gödel para una discusión de los teoremas de incompletitud que los contextualiza dentro de una discusión más amplia de su trabajo matemático y filosófico).
Los teoremas de incompletitud de Gödel se encuentran entre los resultados más importantes en la lógica moderna. Estos descubrimientos revolucionaron la comprensión de las matemáticas y la lógica, y tuvieron implicaciones dramáticas para la filosofía de las matemáticas. También ha habido intentos de aplicarlos en otros campos de la filosofía, pero la legitimidad de muchas de estas aplicaciones es mucho más controvertida.
Gödel estableció dos teoremas de incompletitud diferentes aunque relacionados, generalmente llamados el primer teorema de incompletitud y el segundo teorema de incompletitud. El "teorema de Gödel" a veces se usa para referirse a la conjunción de estos dos, pero puede referirse a cualquiera de ellos, generalmente el primero, por separado. Acomodando una mejora debido a J. Barkley Rosser en 1936, el primer teorema puede establecerse, más o menos, de la siguiente manera.